Cours Algèbre 4 PDF
Ce cours est destiné aux étudiants de 2eme année Licence de Mathématiques Appliquées (Licence à programme nationale). Pour suivre ce cours, l’étudiant a besoin de connaître les notions de base d’algèbre vues aux semestres précédents de la formation (Algèbre 1, 2 et 3), en particulier, les notions d’espaces vectoriels, d’applications linéaires, de polynômes et de matrices.
L’objectif du cours étant une introduction à l’algèbre bilinéaire, son programme s’articule sur trois parties principales :
— Formes linéaires et dualité : cette partie est consacrée à l’étude des applications linéaires définies sur un espace vectoriel à valeurs dans un corps, c’est à dire des applications linéaires dont l’espace d’arrivée est de dimension 1.
— Formes bilinéaires : dans cette partie l’algèbre bilinéaire est abordée par l’introduction des formes bilinéaires. Des notions de base telles que la représentation matricielle, le rang, les noyaux d’une forme bilinéaire y sont présentées.
— Formes quadratiques : cette partie débute par l’étude des formes bilinéaires symétriques, ce qui permettra d’aborder les formes quadratiques comme formes équivalentes ainsi que toutes les notions de base (matrice, rang, noyau). Le but principal de cette partie étant la réduction des formes quadratiques, la méthode de Gauss pour la décomposition d’une forme quadratique en carrées de formes linéaires indépendantes est exposée.
— Introduction à l’espace Hermitien : ce chapitre est une brève introduction à des notions comparables aux formes bilinéaires et quadratiques sur l’espace des nombres complexes
Chaque partie inclut des exemples illustratifs et se termine par une série d’exercices résolus pour permettre à l’étudiant de mieux comprendre les notions présentées, suivie d’une série d’exercices non résolus lui permettant de s’entraîner et de tester ses connaissances.
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