Cours Algèbre et théorie de Galois PDF
Introduction
Le cours d'Algèbre et Théorie de Galois, destiné à un public engagé dans le domaine mathématique, plonge ses racines profondes dans les concepts sophistiqués de l'algèbre commutative et de la théorie de Galois. Cette discipline, cruciale dans le panorama mathématique, explore la structure des anneaux, des corps, et leur lien étroit avec les équations polynomiales. Dans cette introduction exhaustive, nous explorerons les tenants et aboutissants de l'algèbre commutative, mettant en lumière son importance, puis nous plongerons dans la théorie de Galois, une exploration captivante des extensions de corps et de la résolubilité des équations algébriques.
Algèbre Commutative
1.1 Pourquoi l'algèbre commutative:
L'algèbre commutative, pierre angulaire de ce cours, offre une perspective riche et puissante sur les structures mathématiques. Cette section explorera les raisons sous-jacentes qui font de l'algèbre commutative un outil incontournable dans l'étude des propriétés des anneaux et des corps. Nous découvrirons comment son caractère commutatif influence la résolution de problèmes mathématiques fondamentaux.
1.2 Généralités sur les anneaux commutatifs:
Les anneaux commutatifs, objets mathématiques centraux, sont au cœur de l'algèbre commutative. Nous parcourrons les généralités de ces structures, mettant en évidence leurs propriétés fondamentales et leur rôle dans la modélisation de divers phénomènes mathématiques.
1.3 Généralités sur les modules:
Les modules, extension naturelle des espaces vectoriels, constituent une étape cruciale dans l'approfondissement de l'algèbre commutative. Cette section jettera les bases nécessaires à la compréhension des structures modulaires, élargissant ainsi notre perspective sur les systèmes algébriques.
1.4 à 1.10:
Cette série de sections abordera des concepts avancés tels que les anneaux de polynômes, les anneaux factoriels, les corps des fractions, le théorème de transfert de Gauss, le produit tensoriel, le lemme chinois, et les modules de type fini sur un anneau principal. Chacun de ces concepts joue un rôle crucial dans l'édifice de l'algèbre commutative et prépare le terrain pour l'exploration plus approfondie de la théorie de Galois.
Extensions de Corps. Théorie de Galois
2.1 Généralités sur les extensions de corps:
Cette section marque la transition vers la théorie de Galois en explorant les extensions de corps. Nous examinerons les fondements de ces extensions, introduisant des notions clés telles que la transcendance et l'algébricité, jetant ainsi les bases de la théorie de Galois.
2.2 à 2.9:
La théorie de Galois approfondira les concepts tels que les corps algébriquement clos, les automorphismes, les extensions normales, la caractéristique et l'endomorphisme de Frobenius, les polynômes et extensions séparables, les corps parfaits et imparfaits, les extensions galoisiennes, la correspondance de Galois, la résolubilité par radicaux des équations algébriques, et les polynômes symétriques. Chacun de ces aspects offre un éclairage unique sur la compréhension des extensions de corps et la résolution d'équations polynomiales.
En conclusion, ce cours d'Algèbre et Théorie de Galois promet une exploration profonde des structures mathématiques avancées. De l'algèbre commutative à la théorie de Galois, chaque concept enrichit notre compréhension des fondements mathématiques et ouvre la voie à des applications variées dans divers domaines scientifiques.
 |
| Cours Algèbre et théorie de Galois PDF |
Cours: